三重积分在直角坐标系下交换次序的研究【字数：1082】
论文导读:：本文给出了如何在直角坐标系下将三重积分交换次序的方法，即转化为二重积分在直角坐标系下交换次序的问题，并用实例进行了说明。
论文关键词：三重积分，二重积分，交换次序
一、问题的提出
二重积分在直角坐标系下交换次序，只需把积分区域分别看成型和型即可。但三重积分在直角坐标系下的次序有6种，它们分别是：、、、、和。由于积分区域是空间区域，往往很难想象，因此借助画出积分区域W的图形，完成三重积分在直角坐标系下交换次序通常不可行，需要新的方法解决这一问题。
二、交换三重积分在直角坐标系下次序的理论依据
确定三重积分的积分次序通常有两种办法，分别称为投影法和截面法。有的书上也称为先单后重和先重后单。
所谓投影法是指计算一个三重积分可以化为先计算一个定积分，再计算一个二重积分, 此二重积分的积分区域为W在坐标面上投影。
设空间闭区域，其中为在平面上的投影。
则【1】 ·(1)
若令
有(2)
这样上的三重积分转化为上的二重积分。交换三重积分（1）中外层积分的次序，只需交换积分区域为的二重积分(2)中的次序。
而截面法是指计算一个三重积分也可以化为先计算一个在截面上的二重积分，再计算一个定积分。设空间闭区域，其中是竖坐标为的平面截空间闭区域W所得到的一个平面闭区域中国论文下载中心。
则有 .【1】(3)
(4)
则交换交换三重积分（3）中内层积分的次序，只需交换截面上二重积分（4）中的次序即可，此时应将变量看成常数。
若不是相邻交换，可用若干次相邻交换来实现。这样三重积分在直角坐标系下交换次序的问题二重积分，就转化为二重积分在直角坐标系下交换次序，从而问题得以解决。
三、举例说明
例将按的次序积分，再按次序积分【2】。
解：1)按的次序积分，只需交换原积分中的次序。由于是内层积分，，应将上面的积分看成是由截面法得到的，只需交换截面上二重积分的次序即可。
把看成常数，
由此画出截面（见图1）
在平面区域上交换的次序
（5）
2）由前面分析知，交换次序时只能做相邻的交换，要换成次序积分，
可看成两步组合而来。
而已经完成, 即（5）。下面将（5）中外层积分的次序交换。交换外层积分次序，应将此积分看成是由投影法得到的，只需交换投影区域上二重积分的次序即可。
，由此画出积分区域（见图2）
在平面交换次序得
四、小结
由以上分析可知：三重积分在直角坐标系交换次序只能做相邻交换，对外层积分交换次序要把积分看成由投影法得到；对内层积分交换次序要把积分看成由截面法得到，从而转化为二重积分的交换次序；而对任意次序的交换，可用相邻交换实现。
参考文献：
[1]同济大学数学系编。高等数学第六版（下册）【M】6版，北京：高等教育出版社，2007：158-160
[2]詹锐清、卢海敏，高等数学全真课堂（上下册合订本）【M】，北京：学苑出版社，2002：580-581
原文链接：http://www.jxszl.com/lwqt/yzlw/357394.html
最新推荐
热门阅读
