[免费论文]对一道高级职称笔试题的反思
题想起了多年前的一幕.一次区教研室来笔者所在学校视导,教研员王凤春老师听了笔者的一堂课,刚巧笔者在课上讲了此题,而且也是按这种错误的方法讲解,由于所教的是普通班级,课上没有学生提出质疑.课后王老师严肃地批评了笔者,解题能力是主要的基本功,是学科素养的体现,要求笔者好好的补补概率知识,并给笔者介绍了概率教学中容易犯的错误.高级职称笔试考查此题,也反映了命题者对新课程时代下,老师对概率知识薄弱的忧虑.这次又见此题,觉得有必要把概率教学中易犯的错误作一个梳理.1.等可能与非等可能例1求掷两枚骰子所得的点数之和为5的概率.错解:掷两颗骰子出现的点数之和可能为2,3,4,…,12共11种,所以概率为P=111.剖析:以上11种基本事件并不是等可能的,如点数和为2的只有1+1,而点数和为5的有1+4.2+3.3+2.4+1共4种.正解:掷两颗骰子共有36种等可能的结果,则所求的概率为P=436=19.2.互斥与对立例2从编号为1至10的十张卡片中任取2张,那么互斥而不对立的两个事件是().(A)至少有1张奇数和都是奇数(B)至少有1张奇数和至少有1张偶数(C)至少有1张奇数和都是偶数(D)恰有1张奇数和都是偶数错解:(C).剖析:本题错误的原因在于没有搞清互斥事件与对立事件的区别和联系.互斥事件是指不能同时发生的事件,这些事件至多只能发生其中一个,也可以都不发生.对立事件是指两个事件中必有且仅有一个事件发生.对立事件必定互斥,而互斥事件未必对立.对立只针对两个事件,互斥可以是多个事件.正解:(A)(B)不互斥,当然不对立,(C)对立,当然互斥,(D)互斥而不对立,所以选择(D).3.互斥与独立例3猎人在距离100米处射击一只野兔,命中的概率为12.若第一次未射中则进行第二次射击,此时射击距离为150米.若又未射中则进行第三次射击,此时射击距离为200米.若猎人命中的概率与射击距离的平方成反比,求射中野兔的概率.错解:设第n次射中野兔的概率为Pn(n=1,2,3),由P1=12=k1002得k=5000,则P2=50001502=29,P3=50002002=18,所以射中野兔的概率P=P1+P2+P3=6172.剖析:本题注意了互斥事件而忽略了独立事件.第一.第二和第三次射中野兔这三个事件是互斥的,但第二次射中野兔的概率应该等于第一次未射中的概率与第二次射中的概率之积,第三次射中野兔的概率也是类似情况.正解:射中野兔的概率P=P1+(1-P1)P2+(1-P1)(1-P2)P3=95144.4.有序与无序例4现有一批产品共10件,其中7件为正品,3件为次品,任意取出4件,求其中恰有1件次品的概率.错解:10件产品中一次取出4件和一次取一件连取4次的情况是一样的.第一次取有10种取法,第二次取有9种取法,第三次取有8种取30上海中学数学·2010年第5期法,第四次取有7种取法,所以从10件产品中,任意取出4件有10×9×8×7个可能的结果.7件正品中取出3件有C13种可能,3件次品中取出1件有C37种可能.所以任意取出的4件产品中恰有1件次品的概率P=C13·C3710×9×8×7=148.剖析:计算所有可能的结果个数时考虑了抽取的顺序,而计算其中恰有1件次品的结果个数时没有考虑抽取的顺序.正解:(1)若都考虑顺序一次取一件连取4次,共有P410个可能的结果.任意取出4件中要恰有1件次品可以看成4次抽取中有1次抽到次品,有P14种方式,同时对于每一种方式,从3件次品中取1件,再从7件正品中一件一件的连取3件,共有P14·P13·P37种取法,所以P=P14·P13·P37P410=12.(2)若都不考虑顺序一次抽取4件,共有C410个可能的结果,7件正品中取出3件有C37种可能,3件次品中取出1件有C13种可能.所以P=C13·C37C410=12.5.返回抽样与不返回抽样例5现有一批产品共10件,其中7件为正品,3件为次品,从中抽取一件然后放回,再取一件再放回,如此连取5次,求恰有3件是正品的概率.错解:从7件正品中抽取3件有C37种可能的结果,从3件次品中抽取2件有C23种可能的结果,这5件产品的取法有先后的顺序,每件产品的取法有10种,取5次共10种.所以恰有3件是正品的概率P=C37C23P5105=0.126.剖析:这是返回抽样问题,每件正品的取法都有7种结果,C37是从7件正品中不返回抽取3件的可能,也就是从7件中一次取出3件的可能.正解:对于每件被抽到的正品都有7种可能,共73种可能,对于每件被抽到的次品都有3种可能,共32种可能.5次抽取中有3次为正品,共C35种可能.从10件产品中返回抽取5件的所有等可能出现的结果为105种.所以P=C35·73·32105=0.3087.6.部分结果重复计数例6见本文开头.剖析:余下的8只鞋子中任取2只有可能是一双,而这一双与先取出的一双有顺序的关系,所以对于取出两双鞋子的情况进行了重复计数.正解:先取出5双鞋中任意一双,然后在余下8只中任取2只鞋,再减去重复计数的取两双鞋的情况,则所求的概率为P=C15C28-C25C410=1321.通过对上述例题的剖析和解答,可以感受到相关概念的理解和把握对于概率问题的解决有着举足轻重的作用.在实际的教学过程中,对于常见的概率类型和错误解答要仔细归纳和深入反思,帮助同学们理出头绪.探明陷阱.还要注意将抽象的概率知识落实到具体的情境中去,让学生亲历知识的形成和辨析过程.如果通过概率的学习能够启迪学生的智慧,让学生体会数学的科学价值和应用价值,促进学生学习能力的整合,这样的概率教学就真正的成功了.错题说题的教学作用226351江苏省南通市通州区石港中学马进教师在讲课过程中经常会遇到这样的情况:这类问题已经讲了许多遍了,可学生还是错.究其原因,与教师的教学方法有关.处理这类问题的方法是老师讲.学生听,随后再出同类问题,学生反复地训练,以期达到熟能生巧.其模式为:教师讲授→学生被动接受→反复训练→学生强记.学生在这个过程中被当作装知识的容器,处于被动.强记的状态,对知识的理解是肤浅的,没有内化成自己的知识体系,更没能熟练运用迁移到能力层面.
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