目录
摘要1
关键词1
Abstract1
Key words1
引言1
1基础知识4
1.1 双随机矩阵 4
1.2积和式 5
2相关研究6
3过程与结果 9
3.1 A为置换矩阵 9
3.2 A为2阶矩阵 11
3.3 A为3阶矩阵 11
3.4 A为4阶以上矩阵16
4总结与展望 18
4.1 研究工作总结 18
4.2 未来工作展望19
致谢19
参考文献19
有关双随机矩阵积和式的一个不等式的研究
摘 要
积和式是数学领域里在矩阵上定义的一类函数。在线性代数中，矩阵积和式与矩阵行列式具有很多方面的联系，所以矩阵积和式就被看作是一个与矩阵行列式相似的多项式。
但是积和式的计算难度往往要比行列式大的多，尽管国内外学者已经给出了许多计算积和式的办法，但这些方法依然不能有效的处理阶数较高的矩阵的积和式，因此这些计算方法仍然缺乏实用性。而在研究矩阵积和式计算方法的过程中，双随机矩阵作为一种特殊情况引起了学者们的重视。自上个世纪Van der Waerden猜想被提出以来，有关双随机矩阵积和式的猜想和证明便层出不穷。
本文在介绍双随机矩阵和积和式的理论背景以及相关知识的基础之上整理了一些学者对于一些积和式不等式的探讨和研究，其中主要是关于M.Marcus和H.Minc猜想的不等式
（
且
）的一些讨论和证明。之后本文分别讨论并证明了当A为任意阶数的置换矩阵、当A为二阶双随机矩阵以及当A为三阶双随机矩阵的情况下，MarcusMinc猜想成立。在此基础上，我们提出了一种可能用来证明该猜想对任意阶数的双随机矩阵均成立的想法和思路。最后，利用该思路我们证明对于加上一定的限制条件后的双随机矩阵，MarcusMinc猜想成立。
引言
随机矩阵的概念最早由Romanosvsky于1935年在离散Markov链理论的研究中提出并给予详细的讨论。随机矩阵的定义，简单来说就是矩阵中的元素必须是满足某个特定分布的随机变 *51今日免费论文网|www.51jrft.com +Q: *351916072* 
量。随机矩阵理论研究的是随机矩阵特征向量和特征值的分析统计性质，属于高等多元统计分析学的一个分支。众所周知，随机矩阵理论是随机过程理论与矩阵理论的交集，其研究对象大多数是类型和维数都已确定的随机矩阵，并且这些随机矩阵中每个元素都具有某种统计特性。早在1928年，J.Wishart就已经着手研究有关随机矩阵的问题，其中主要是研究关于固定维数的高斯矩阵的一些问题。在随机矩阵理论刚开始发展的时候，人们更专注于用随机矩阵理论来解决一些实际问题或者是科学实验中遇到问题，在这一时期也产生了许多非常重要的结果。经过了将近一个世纪以来的不断发展和深入研究，随机矩阵理论在应用研究和科学实践等多个领域范畴都有了突破性的进展，诸如信息论、统计物理、信息处理、混沌理论、随机差分方程、神经网络等。近年来，随着计算机技术的广泛应用与发展，随机矩阵理论以及矩阵积和式理论在计算复杂性理论等一些计算机科学领域中发挥着重要的作用。
1951年，诺贝尔奖获得者Eugene Wigner开始初步尝试解释复杂原子提携的光谱问题，在研究过程中遇到了一些困难，为此他将不同能级不同原子的参数放入一个完全随机并且独立的实对称矩阵中，并在假设哈密顿量最小的情况下来分析不同能级和原子间相互作用。之后他用这个方法得到了一些可能是诸多学者们都想要得到的平均结果，且这些结果具有通用性。埃尔米特矩阵之所以被称为Wigner矩阵，是因为Eugene Wigner在1958年的时候系统的描述了埃尔米特矩阵特征根经验分布中的极限分布情况，之后这个结果就被称为半圆律（Semicircular Law)定律。在Eugene Wigner的研究刚开始的时候，所涉及到的埃尔米特矩阵大部分都是其随机矩阵
中的元素
满足独立等分布条件的高斯分布的对称随机矩阵。随后学者们将此类矩阵推广到了复向量空间中，如果
是满足独立等分布的一个复随机向量的话就称其为复Wigner矩阵，也称作埃尔米特矩阵（Hermitian Matrix）。在半圆律被提出之后的几十年里，许多专家学者陆续开始对它产生极大的兴趣，其中如Terence Tao,HorngTzer等一些著名的数学家都开始对推动和发展随机矩阵普适性定理方面进行研究并做出了许多非常好的结果。我国著名学者白志东教授，作为第三世界科学院院士首先对“大维随机矩阵的谱分析理论”这个方面进行研究，通过对研究成果的总结建立了“经验谱分布收敛速度的估计”和“白志东不等式”，这些结果被发表在国内外重要期刊上，在被国内外学者阅读并研究后得到了广泛的赞扬和肯定。
随机矩阵理论在三个方面非常成功：首先，随机矩阵理论为平面图的结合因子提供了有效的生成函数；其次，随机矩阵理论可以有效的描述平均水平间距的尺度上的水平相关性；最后，随机矩阵理论可作为可积系统理论复杂联系的精准模型。并且随机矩阵理论具有普适性：特征值相关性的平均水平间距并不依赖于概率分布。正是这个属性作为随机矩阵理论的基础使得随机矩阵理论在矩阵研究中显得尤为重要，它表明了随机矩阵特征值的理论相关性同样符合数学规则。然而，它的预测会像核能一样发生在自然系统中被称作研究随机矩阵理论的最重要的原因，石英晶体中的声波以及黎曼函数的零序都能证明这一点；在量子力学中随机矩阵理论的作用也得到了充分的体现，比如对量子色动力学中分割函数的巨大贡献。除此之外，随机矩阵理论也为学者们带来了许多困难而又有趣的挑战。
双随机矩阵最早由Feller [1]引入，在许多经济学以及算子理论的模型中出现较多。关于双随机矩阵的刻画有不少重要的成果，其中有一个广为人知的定理，即：
Birkhoff定理[2]：任一双随机矩阵都可以表示成置换矩阵的凸组合，且反之亦然。
近几十年来，国内外关于双随机矩阵的研究成果十分丰富，特别是双随机矩阵的性质，例如最大和最小对角线，行列式和积和式，作为多面体的边和面，特征值，项秩等等。

原文链接：http://www.jxszl.com/jsj/xxaq/607013.html