目录
摘要 II
关键词 II
ABSTRACT III
KRY WORDS III
1 引言 1
1.1 课题背景及研究意义 1
1.2 国内外研究现状 2
1.3 本文主要研究方向和内容 3
2 基因调控方程的稳定性分析 5
2.1 单个方程的建立 5
2.2 单个方程的稳定性分析 5
2.3 小结 7
3 基因调控方程组的稳定性分析 8
3.1 预备知识 8
3.1.1 Hopf分岔 8
3.1.2 Lyapunov定理 9
3.1.3 Routhhurwitz准则 9
3.2 方程组的建立和Hopf分支定理 10
3.3 模型平衡点全局渐进稳定性分析 13
3.4 Hopf分支方向与分支周期解的计算公式 14
3.4.1 RFDEs框架的构建和模型的转化 14
3.4.2 约化到中心流形以及系数的推导 17
3.5 小结 19
4 基因调控网络分析 19
5 总结与展望 20
致谢 23
参考文献 24
基因调控模型动力学分析研究
摘要
基因调控是二十一世纪微观生物学课题的一个重点之一，它旨在让人类全面了解基因组的动力学行为以及功能。目前，利用数学工具研究此课题的成果不断涌现。
本文一共分为四章。在第一章中，介绍有关基因调控的国内外研究现状。在第二章中，对所要研究的模型进行不动点的稳定性分析。在第三章中，针对基因调控中的蛋白质翻译部分进行研究。由于在翻译过程中mRNA的转录存在延迟现象，因此构建带有时滞的微分方程组。通过对基因调控模型的局部稳定性和Hopf分岔进行分析，得到模型达到局部稳定所需要的条件。此外，还利用Lyapunov定理对平衡点的全局稳定性进行分析，并对Hopf分岔方向与分岔周期解的计算公式进行研究。在第四章中，我们建立遗传振荡器模型，从理论上分析得到随机遗传振荡子网络的一般形式。最后一章则是对本文做一个 *51今日免费论文网|www.51jrft.com +Q: &351916072& 
总结以及对未来的展望。
由于迄今为止，国内外学者对基因调控模型的研究仅局限于理想的常微分方程组，仅处于起步阶段，因此充分利用应用数学理论，从动力系统角度研究更复杂形式的基因调控模型是非常有意义的。相信本文的一些结果对基因组学的研究将起到重要的作用。
引言


添加噪声、扩散等因素，我们考虑n个耦合的基因网络系统：

（43）
其中
刻画了单个基因的动力学，
为噪声强度矢量。
是维纳过程。
刻画了两个基因之间之间的耦合。
是网络的耦合矩阵，满足以下情形：存在一个链路是从振荡器
到振荡器
时，
等于该链路耦合强度的正常数，否则，
。
令Lyapunov函数为：
，对于
时，
。则：


当
时，则
，从而可以判断出平衡点的全局渐进稳定性。
对于一个N耦合生物钟的种群，单个遗传振荡器是抑制器。而这个抑制器是由三个基因组成的网络，其产物以循环的方式抑制彼此的转录。具体些来说，基因A表达蛋白A，抑制基因B的转录。蛋白产物B，抑制基因C的转录，其蛋白产物C反过来抑制A的表达，从而形成负反馈循环。
在生物学上，遗传振荡器通常是不相同的。我们还需要考虑具有参数不匹配和随机扰动的基因调控网络。由于转录、翻译和易位过程缓慢，基因调控存在显著的时间延迟。 我们还可以在耦合和单个遗传振荡器中扩展到存在延迟的情况，但在这里我们暂时不涉及。
5 总结与展望
本文在对基因调控的国内外研究情况进行充分了解后，主要针对基因调控过程中的翻译阶段具有时滞的动力学模型进行了讨论研究。我们首先对模型中的不动点进行稳定性分析，发现这一类模型满足以下的三个条件：首先，模型用一个由退化项和单个变量的综合项组成的一阶微分方程表示；其次，离散延迟只影响合成项，即在没有延迟的情况下，所有不动点是渐近稳定的或不稳定的；最后，不动点在没有延迟的情况下满足两个不太严格的约束条件（见2.3小结）。
在对不动点进行稳定性分析后，我们基于在翻译过程中mRNA转录时存在一个延迟这一事实，建立带时滞的微分方程组动力学系统。接着求解这一动力学系统的平衡点，分析系统的局部稳定性，得到当
时，系统是局部渐近稳定的，否则，系统是不稳定的，其中
是Hopf分支参数。
此外，我们还运用RothHurwitz准则和Lyapunov定理，求证系统解的有界性，通过构建Lyapunov函数，对系统的全局稳定性进行详细的分析研究。我们发现，平衡点在系统中是全局渐进稳定的。对Hopf分岔的研究方法有很多，如：中心流形定理、平均法、后继函数法等，在本文中，我们利用中心流形定理和规范型法进行化简和投影，求解系统的Hopf分岔方向以及周期解计算公式等。
最后，我们建立遗传振荡器模型，然后我们从理论上分析得到随机遗传振荡子网络的一般形式。
上述只是对基因调控模型的一些初步研究，我们还有一些问题需要更进一步的研究，比如：在模型中，本文只引入了一个时滞，但是在很多情况下，还容易出现双时滞以及多时滞的情况，本文尚未涉及到，因此还需要更进一步继续研究下去。
一个基因调控网络其实是由多个基因相互作用和调节其他基因的表达蛋白所组成的。而本文只是研究一个基因作用下的基因调控模型，这样的模型还需要更进一步深入到多基因层次的研究。

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