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摘要 III
引言
1 课题背景
1.1 积和式的发展背景和意义
矩阵作为一种基本工具，在许多领域中都有着十分重要及广泛的应用，如在自然科学、管理科学及社会科学和工程技术中都会用到矩阵。而这许多的学科领域的发展又反过来推动了学者们对矩阵的研究。因此，矩阵也一直都是许多学者所研究的内容。
积和式是矩阵理论中的一个重要研究内容。积和式的提出最早出现于Cauchy [1]与Binet[2]的传记中，Cauchy 把行列式作为交错对称函数进行考虑，介绍了对称函数的一个特殊子类。1882年，Muri[3]把这个特殊子类命名为积和式。积和式的理论和计算由于二十世纪七、八十年代的许多领域的一些重要问题的推动，引起了大批学者的广泛关注。而大家对积和式的研究均取得了一定的研究成果。如积和式的上下界[4, 5]、积和式的计数公式[6]以及积和式的估值[7]等。另外，又有一些学者研究有关积和式的一些恒等式和不等式。如Zhang [8]研究了积和式的一些恒等式，Brualdi[9]和Ando[10]给出了积和式与积和式子式的一些不等式，LeRoy[11]给出了矩阵Hadamard积的积和式的一个不等式。1978年，Minc12]在他的专著[12]中详尽地总结了前人的结论，这对于开展这个领域的研究起到了非常积极的作用。
1.2 国内外研究进展
在积和式的概念被提出近一个世纪中，其研究方兴未艾，由于各领域需求的推动，人们对积和式的计算也尤为关注。1993年N. Karmarkar与R. Karp [13] 使用蒙特卡洛方法给出了积和式问题一个有效的估值算法，并对其计算精度给出了一个用概率表示的估计。1998年Isabel Beichl和Francis Sullivan [14] 通过将积和式求值转换为图论中的覆盖问题，对积和式的值进行估计。2003年，Liang 和Bai [15] 给出了(0,1)矩阵积和式上界的一类新的估计方法。2004年，Liang和Bai [16] 对富勒烯邻接矩阵的积和式给出了一个快速计算方法。2012年，Wang , Liang , Bai 和Huo [17] 给出了一个针对大规模稀疏矩阵的积和式的快速计算方法。
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列式类似，都是定义在矩阵上的一类多项式函数。但由于积和式没有行列式的两条重的要性质，所以它的计算是相当困难的，尤其当矩阵阶数增加时，其计算的复杂性也增大，所以其应用受到了一定的限制。在此基础上，我们来考虑对积和式进行适当的估值及一些积和式不等式的性质也显得尤为重要。
二十世纪初期，van der Waerden[18]提出了著名的猜想：若A∈
Ω
????
且A≠
????
????
时，则有
per
A
>per
????
????
=
????!
????
????
。
其中，
Ω
????
是所有n阶双随机矩阵的集合，
????
????
为所有元素均为
1
????
的矩阵。
为了验证这一猜想，许多学者付出了努力，但证明该猜想十分困难，为此E. T. H. Wang[19]提出另一关于积和式的不等式来验证该猜想。该猜想的内容为：若A∈
Ω
????
，n≥2时，则有不等式
per
????
????
????
+????
????+1
≤per(A)
成立，当且仅当A=
????
????
时等号成立。
关于E. T. H. Wang的这一猜想，前人已经验证了一些特殊情形下该积和式不等式的有效性，而本文对该积和式不等式成立的验证给出了另一种证明方式，并对不等式在矩阵阶数更高的情形下也给出了证明。
1.3 应用前景
矩阵积和式是矩阵的一个基本度量。积和式概念的出现并不比行列式出现的晚。1812年，Cauchy首次在他的论文集中提出了积和式的概念，后来Muir正式命名它为积和式。1935年，(0,1)矩阵的积和式形式开始出现于许多组合问题中，但在这一时期积和式并没有什么发展，且此时它并不是以积和式来命名的。直到1959年，Caianiello开始使用积和式来表示量子场论中的扰动展开门；M. Marcus和Newman在van der Waerden猜想的证明上取得了突破性的进展；1960年Ryser，Nikolai和Tinsley给出了(0,1)矩阵的积和式在组合学中关联矩阵上的应用等，这对积和式的研究起到了很大的推动作用。而目前人们对于计算矩阵积和式值的研究主要有以下几个方向：
寻找合适的方法来计算积和式的准确值，而对于精确算法的时间复杂度随着矩阵阶数增大，也呈成矩阵指数级增加；
用组合计数问题来近似积和式问题来求解；寻找有针对性的算法针来对一些特殊的积和式进行计算，这种情况通常要求矩阵是稀疏矩阵；

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