小学数学分数运算教学策略研究 ———以宿迁市宿城区某小学为例【字数：7412】
引言
（一）问题提出
1.研究背景
《义务教育数学课程标准（2011版）》明确指出：在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。[[[]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京:北京师范大学出版社，2012.1.]]这里的运算能力包括数的运算能力和符号的运算能力，小学阶段主要是指数的运算能力，具体体现在：计数能力的形成、运算法则和公式的掌握、应用问题的解答三方面。[[[]王晓红.提高五年级学生分数运算能力的课后辅助教学研究[D].鲁东大学，2017.]]分数运算作为小学数学中一个重要的教学内容，也是国内外研究人员与一线教师关注的重点之一。
实习期间，我发现高年级学生在学习分数运算这一模块时，往往会遇到各种各样的困难、出现各式各样的错误，其中在异分母分数加减法、分数的乘除法和分数的四则混合运算上尤为明显。因此笔者通过从当下小学分数运算教学现状中找出问题，在梳理大量文献并结合教学实际的基础上分析原因，提出一些相应的策略。
小学数学分数运算教学策略的研究为教师突破教学难点重点，加深学生对分数的理解、让学生更好地掌握分数运算的内容并学会灵活运用提供途径，不仅关系到高学段教学成果的效益和教师自身教学素质的提高，也影响着学生今后学习的成效、对数学学习的兴趣和信心及其他方面的发展。
2.研究意义
素质教育及新课标理念要求我们在进行分数运算教学时不仅要考虑教材本身的逻辑体系，更要考虑学生的认知特点和学习、生活环境，巧妙地进行教学设计。在具体的教学实践中，合理的教学策略在培养学生形成初步数学思维、数学情感、逻辑推理能力的同时，也进一步丰富了小学数学分数运算教学理论，对当前的教育教学改革起到重要的推动作用。
分数的运算是学生数学素养组成和提高的过程，同时也是教师在数学教学过程中比较棘手的一块内容。一方面，探寻分数运算教学策略不仅能够有效提高分数教学质量、总结归纳分数运算规律，更有助于学生分数运算能力的提高，使学生从本质上理解算理，实现人人都能受到良好数学教育的目标，从而形成完整的分数框架和数学系统，起到锻炼逻辑思维的作用。另一方面，突破了分数运算这个难点，学生的数学运算水平整体都将会得到提升，从而建立学好数学的自信心，遇到分数就不会有发愁、烦闷、抗拒的情绪，更重要的是分数运算的学习为之后初中学段更高层次的知识点乃至整个数学学习生涯奠定了基础。
（二）文献综述
本研究的文献综述以中国知网为媒介、小学分数运算作为关键词搜索阅读相关资料，通过对所查找的文献进行归类、梳理和评述，总结出现有研究的成果、分析不足之处，从而确立本课题的立足点和创新之处。
1.关于分数运算教学内容的研究
很多学者认为，小学阶段的分数学习看似简单，但需要很多其他数学知识作为支撑，而学生在日常生活中接触到分数的机会比较小，教学内容与现实世界会有割裂的情况，因此分数的理解与学习对于小学生来说是一个比较抽象和特殊的过程，且分数本身的知识点琐碎、涉及范围广，光靠书本公理化的式子或者文字概念很难让小学生真正弄懂它的本质。另外相较于整数，分数是由一对数表示的，一个作分子、一个作分母，所以分数的概念更抽象、难以理解，因此相关学者指出提早分数的引入和教学有助于儿童抽象思维能力的发展，反复出现便于儿童逐步顺利地掌握分数的概念和计算，减少学习分数的困难。[[[]黄光炜.透视国外基础教育课程改革[J].外国中小学教育，2005（07）:44—47.]]
（1）分数运算内容的大体划分
有学者通过研究发现，由于分数内容本身的性质，其知识点分散在各年级，各国在顺序、范围上虽有不少差异，但大多都把分数加、减法划分为同分母分数加、减法和异分母分数加、减法两个阶段，把分数乘、除法划分为分数乘以、除以整数和分数乘以、除以分数两个阶段。[[[]陶积文.小学分数有效教学策略研究[D].西北师范大学，2015.]]
（2）分数运算教学内容的难易程度
有学者表明，尽管在小学教学分数是有必要的，但现实生活中小数的应用越来越多，特别是电脑、计算器都采用小数的形式进行运算，而且分数对于学生来说也比较抽象难学，所以各个国家比较一致地趋向于分数教学内容的尽量简化。能够明显发现的一点就是，分数的分母大小多数不超过10。如苏教版五年级下册的分数加、减法计算中，仅有3个分母超过10的分数；六年级上册的分数运算中，分母超过10的分数相对稍多，但运算过程并不复杂，仍以不超过10的分数为主。日本六年级上册的一版数学课本中，两页分数计算题共有83道（大多是一步计算的式题），分母超过10的分数只有15个。除此之外，分数四则混合运算式和分数应用题也相对比较简单——在数学课本中大多出现的是两、三步计算的，只有少数需要四、五步计算。[[[]山丹.小学数学分数教学策略研究[D].内蒙古师范大学，2013.]]
分数运算的教学内容比较琐碎，不同的研究者涉及的范围也各不相同，但在整体框架和大体方向上是大同小异的。因此教师在对这部分内容进行教学时，要把握好分数运算的系统结构和逻辑顺序，按不同的实际情况实施教学定位。
2.关于分数运算致错和难学原因的研究
（1）分数运算致错原因
在实际练习中，部分学生在进行异分母分数加减法运算时会出现分子、分母同时相加或相减的情况，一些研究者对此进行了分析探讨，结果显示，这些出错的原因可以从认知方面加以解释。例如，分数原本是作为一种单个的量存在的，而学生往往会将其看成是两个独立的整数（一个对应分子，另一个对应分母）；还有部分学生认为，既然在分数乘法计算中只要将两个分数的分子、分母分别相乘就可以得出答案，因此，他们在进行分数加减法的运算时，被这种不恰当的推理混淆，认为分子和分母同时相加、减也是合理的。
（2）分数运算难学原因
除此之外，有学者认为学生在分数运算方面表现出的困难与他们学习分数时遇到的困难是分不开的。研究表明，出现这些困难的原因与分数概念的复杂性以及教师在课堂上教学分数时所使用的方法有关。例如，整数的含义、结构模式、符号会干涉学生对分数的理解和学习。[[[]Lamon，S.J.（1999）.Teaching fractions and ratios for understanding.Mahwah，NJ:Erlbaum.]]
然而导致学生学习困难的因素是多方面的，不止是学生自身表现出的某些认知特点会妨碍分数的学习，相关学者通过研究表明，教师不到位的教学也会制约学生学习分数的成效，大致有以下几种情况：分数教学脱离学生先前的学习基础，前后知识不贯通；对于分数的概念强调死记硬背，忽略对本质的理解和掌握；在学生还未全面熟悉分数概念的情况下急于开始形式、符号和算法的介绍；此外，教师学科专业知识的质量也会影响学生分数的学习——Kieren的研究提出分数的五个构想，强调了不同意义的理解，分别是部分和整体的关系、度量、运算、商、比率，由于每种结构侧重于分数的某一方面，这就需要教师具备扎实的功底和更专业的教学水平，对分数的五个结构有深入的理解、知晓它们之间的联系，才能在分数上达成全面的掌握。[[[]张艳.小学数学教材中分数运算的比较研究[D].华东师范大学，2011.]]
总而言之，分析学生在分数运算中经常出错的原因要从师、生双方切入，教师要据此改进自身的做法并帮助学生走出这种境况；但这并不是一蹴而就的，需要在根据实际情况找准原因的基础上，经过长时间的经验积累和努力引导，才能达到预期的效果。
3.关于分数运算教学策略的研究
不少研究者表明，分数运算的教学要与与分数意义相联系。过去在教学分数乘、除法及应用题这部分内容时存在着死记硬套的方法，随着时代的发展、理念的更新和课程的改革，这种教法受到了批评；现在分数乘、除法运算及应用题的教学，大多联系分数乘、除法的意义和关系来说明如何确定算法。
也有研究发现指出，分数运算的教学可以与游戏活动相融合，通过这种教学情境来巩固分数的概念，使叙事熟练分数运算的技巧，并激发学习兴趣。例如：学生在课前用厚纸板做一个约30cm的大正方形，并准备一个木制的小正方体，每个面上写好规则中所定的一个分数。游戏过程中，每位学生发放一套带有相应分数标记的长方形和正方形，按抽签顺序轮流投小正方体，根据小正方体朝上一面出现的分数选择相应的图形（长方形或正方形），铺在自己的大正方形纸板上，谁先铺满就算胜利；还有同类型的抢1、清0游戏（苏教版小学数学教材三年级上册——多彩的分数条）。这些数学游戏能够使学生在主动参与的过程中积极进行思维锻炼，从而加深对分数概念的理解，对之后分数运算的学习与掌握起到了铺垫和促进作用。
有学者认为，教师在教学分数运算的内容时，要关注不同层次的学生，适当减少纯技能练习，加强思维训练；引导学生认识分数加减法和整数加减法的内在联系联系，避免两者混淆；同时注重对算理的分析，借助几何直观理解算理，以算理引入算法；再混合运算和对比计算中，强化计算法则的不同。[[[]郑徐琳.基于教材比较的小学数学分数运算教学策略研究[D].杭州师范大学，2018.]]
缪志军发现，分数运算的教学内容要密切关注数学知识与生活实践的联系，注重数学思维及新旧知识之间的衔接，强调对数学概念的深层次理解和逻辑体系的完整性。在小学数学的具体教学过程中，教师要
根据班级学生的实际情况来选择和确定教学计划，以扬长避短，提高教学效果。[[[]缪志军.小学数学分数运算教学的对比研究[J].数学学习与研究，2016（02）：40.]]
小学教师颜春红提出，学生的学习更要注重建立完善的认知结构，让学生真正的参与到分数运算内容的知识建构过程中去。教师要认真研读教材，了解学生的学习现状和既有经验，精心设计教学方案；在教学实施过程中充分发挥学生的主动性，利用直观图示丰富学生的表象，使学生正确理解算理、突出分数运算的本质本质，培养学生的技巧意识。
由学者们的研究可以发现，小学数学分数运算的教学策略是多样化的，但究其根本，离不开对分数概念和算理、法则的理解；同时，由于分数的特殊性，教师需要引入不同的教学情境，联系学生的现实生活，以精细的教学过程促进学生系统知识结构的形成。
4.已有研究的不足与评析
有关分数的探索很多，总的来看，当前社会十分重视对小学数学分数运算教学策略的研究，不过大部分研究更侧重于寻找促进学生理解和学习分数运算的技巧，关于分数运算教学的经验总结比较零散，缺乏系统的概述；且该研究大多比较笼统、内容不够细致，很难做到真正的落实。所以，对于实际情境下分数运算的教学，需要有更实效和精细具体的策略作为支撑。
（三）研究方法
1.文献法
在调查大量文献资料的基础上，对国内外在小学数学分数运算教学策略的研究情况进行整理和归纳，总结获取一些重要观点，并深入思考，提出自己的认识；借助于文献分析以便于理解相关理论，进而指导、充实本课题的研究。
2.课堂观察法
通过观察实习学校分数运算内容的课堂教学状况，发现目前该小学在分数运算教学中存在的问题。一方面观察教师如何设立分数运算内容的教学目标、怎样安排教学内容、采用哪些教学方法以及呈现的课堂教学效果等，直观地体会该校分数运算的教学现状；另一方面观察学生的上课过程和课后作业的反馈情况，两者结合使得策略研究更贴合实际。
3.案例研究法
为了解分数运算内容在课堂实际教学中的实施状况，笔者将选择特定的课堂场景为对象，仔细地收集和分析具体典型的教学案例，深入探究小学数学分数运算教学现状中存在的问题，以此提出对应的策略。
4.问卷调查法
本文根据现有研究成果确立了问卷的不同维度，并在不同维度下设置了相关的问题，而后整理成完整的问卷向小学中、高年级部分教师发放，以深入研究小学数学分数运算的教学现状，尽可能真实地呈现教师在分数运算教学中的具体操作过程与相应的感受、反思及学生的相关情况，并从中找出问题、分析原因，从而制定目标，进行本课题的有效研究。
5.访谈法
结合问卷调查的内容有目的、有计划地对实习学校部分中、高年级的教师进行访谈，从而得到一些更为详细和深入的资料，以弥补问卷所存在的不足，使课题研究更加完善。
（四）创新之处
大多数研究者对于小学数学分数运算教学策略的探索停留在教育理论层次上，或是单单站在教学实践角度来分析，而笔者将结合理论和实践两个方面进行探究，提出一些有效的、较为系统的、切实可行的教学策略；从另一角度看，这一课题的研究不仅关乎于教师的教，也离不开学生的学，所以光是从教师方面指出策略还是不够的，因此笔者将在进一步在了解和分析学生实际学习情况的基础上，提供一些相应的建议，以此期望能够对教师分数运算教学质量的提高、学生分数运算能力的增强提供帮助。
一．小学数学分数运算教学策略理论概述
（一）分数运算能力的内涵
数的运算属于小学数学教学的基本内容，广泛应用于人们的日常生活和工作学习之中，是小学阶段数学学习中不可或缺的一部分内容。有学者认为分数运算能力是一种数学能力，建立在一系列运算基础知识之上，与观察力、理解力、记忆力、想象力、表达能力、抽象能力、推理能力等相互渗透、相互联系。它不仅包括对运算意义、法则、公式的正确理解，对运算程序、步骤的熟练掌握，还需要通过观察、分析、比较对简洁运算进行合理的选择。[[[]杨健.学生运算能力的培养[[J].中学生数理化（教与学），2010.08:5.]]还有学者通过对《数学课程标注（2011年版）》中基本技能教学的解读，将分数运算能力概括为：能够正确地理解分数运算的原理，以此为前提运用不同的运算法则正确地进行分数计算，同时可以从题目条件出发寻找简便的解答途径。
综合各个专家学者的见解，笔者认为在本文研究中，分数运算能力是在教师的指导下，学生达到理解算理、掌握算法、正确计算三个方面的有机结合，包括分数的加、减、乘、除法以及四则混合运算；其中，算法是对算理的凝炼和总结，算理是对算法的解释。一个学生倘若仅是掌握了分数运算的基本技能，而缺乏有关算理知识的表征，则不能算完全具备分数运算能力。建立关于算理的正确认知有助于运算法则和运算律的掌握和使用，同时，分数运算的操作技能又是学生提高分数运算能力的重要保障。
例在如《同分母分数加减法》一课中，学生能够根据运算法则能够很快算出，但如果不讲明为什么这样计算的道理，将会对后续异分母分数加减法的学生产生影响。因此在教学过程中，教师要辅之以算理的理解，让学生直观地感知：因为同分母分数加减法满足了分数单位相同的条件，所以可以采取分母不变、分子相加减这样的程序步骤进行计算。由此，学生才能够真正明白这样做的意义，深刻领会运算的本质内涵。
分数运算在小学数学运算体系中占据着重要地位，是学生必须要掌握的技能之一。它贯穿于数学学习的始终，也是解决与分数相关的应用问题的基础，正确定义分数运算能力有利于更针对地研究分数运算教学策略。
（二）分数运算的主要教学内容
小学数学分数运算的教学内容虽分布范围较广，但有一套完整的知识结构体系，按照学生年龄和认知特征分别在不同时段、不同单元安排教学，每个课时之间环环相扣、逻辑严密。因此，教学过程中要建立起新旧知识之间充分的联系，遵循从表及里、由浅入深的认知顺序。
以苏教版小学数学教材为对象，分数的运算主要安排在三年级上、下册《分数的初步认识》，五年级下册《分数的意义和性质》、《分数加法和减法》和六年级上册《分数乘法》、《分数除法》、《分数四则混合运算》中，知识与技能的具体内容包括：
认识几分之一和几分之几，知道分数各部分的名称；
会进行同分母、同分子分数大小的比较；
能够掌握同分母分数的简单加、减法（分母不大于10），会计算1减去几分之几；
可以结合具体情境，理解分数的意义及分数与除法的关系；
认识真分数、假分数（带分数），并能将假分数化成带分数或整数；
理解和掌握分数的基本性质，能运用分数的基本性质解决简单的实际问题；
掌握约分、通分的意义及其方法，并将其正确地运用于异分母分数大小的比较；
能够正确理解和计算同分母分数加、减法；
掌握异分母分数加、减法的算理和算法，可以准确地进行计算，体会整数加、减法的运算律对分数同样适用，并能根据一些算式结构和数字关系进行简便运算；
理解分数乘法的意义，掌握分数乘法的计算法则，能正确计算，会解决求一个数的几分之几是多少的实际问题，理解倒数的意义，掌握求一个数的倒数的方法。知道整数乘法运算定律可以推广到分数乘法中，会使用运算定律进行简便计算；
掌握分数除法的意义，探索分数除法的计算法则，并能正确运算，会进行简单的分数乘除混合运算，能运用分数除法知识解决已知一个数的几分之几是多少，求这个数的实际问题，体验用方程解决分数除法问题的优越性；
理解和掌握分数四则混合运算的运算顺序，能够正确的进行计算，会借助线段图，分析稍复杂的有关分数四则混合运算的实际问题的数量关系，并完整解决。
综上所述，分数运算教学策略的研究要参考教学内容的知识脉络，注重各个部分之间的前后联系，在此基础上结合对应的教学实际，使策略的提出更富有现实意义。
（三）小学生学习分数运算时的心理特征
在注意力方面，学生的有意注意逐步发展并占主导地位，但并不稳定，且常与兴趣密切关联。对于这个阶段的学生来说，分数运算中抽象的概念、定理无法引起他们强烈的兴趣，所以长时间保持注意力集中是一件比较困难的事情，教师要根据学生的这一特点在课堂中灵活运用教学手段，不断吸引学生的注意力。
在记忆力方面，意义识记高于机械识记，有意识记占主导地位，抽象记忆也得到一定程度的提升，但具体形象记忆的作用仍非常明显，学生对于抽象的词、公式和概念无法实现牢固记忆。所以在进行分数运算内容的教学时，教师要让学生进行尽可能多的感知，运用直观教学，让学生在建立丰富感性经验的基础上理解算理和算法。
在思维方面，学生从以具体形象思维为主向以逻辑抽象思维为主过渡，但他们的认知活动依旧离不开具体形象事物的支撑，其中，3-5年级是学生思维过渡发生质变的关键期。教师在教授分数运算的相关内容时，要重点关注学生思维的培养，将有助于学生形成表象的情境和活动蕴含在抽象定义的学习中。另外，思维品质上的个体差异也有明显的表现，存在着不平衡性，每个人对这部分内容的掌握情况是不尽相同的，由此，分数运算的教学要关注不同层次的学生，做到因材施教。
在求知欲方面，他们不再满足于这是什么，而开始问这是为什么，所以，教师要及时、认真地解答学生在日常学习中提出的有关分数运算的问题。当然，掌握了运算法则并不意味着已形成运算技能，只有在理解的基础上，所学的知识才能得到内化，如若想要达到牢固的程度，还需要多次合理的练习。有研究表明，学生在获得了真正意义
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