矩阵的初等变化及其应用【字数：5570】
摘要
本文的研究内容为矩阵的初等变换及其运用。本文从研究思路上来说极其重视在具体问题中具体的表达叙述矩阵的初等变换的具有方便求解、减少计算量和问题难度的相关作用。从引言中，首先，系统性的叙述了线性代数对于当今工程数学和数学在实际工程尤其是信息科学技术的前沿方向中的应用情况，指出当今信息科学技术行业的热点方向人工智能相关技术的数学理论核心就是基于矩阵的相关理论运用。同时从数学理论的角度，矩阵的初等变换及其运用在数学理论中占据着核心基础方法的地位。然后，从矩阵的初等变换和矩阵的初等运算进行对比参照式研究的方法基础上，系统性的对矩阵的初等变换的定义和理论特点通过与矩阵的初等运算相关知识内容进行对比而进行了充分的论述。引出了矩阵的初等变换本质上是对矩阵的部分元素或者说信息进行操作而矩阵的初等运算所针对的操作对象则是矩阵内部全部的元素。这是两个运算从运算操作对象的角度而言最大的区别。从这里出发，进一步的叙述了矩阵的初等变换由于仅仅是对矩阵的某行或者某列进行操作的特点使得其对矩阵进行处理运算后并不改变矩阵的相关性质。但是需要明确指出的是，由于矩阵的初等变换通常具有非常明确的线性方程组的相关的特点，所以从这个角度上说在处理线性方程组背景的矩阵初等变换问题时，应该仅仅对矩阵进行初等行变换而不能进行初等列变换以保证矩阵的解集上的内容不丢失。最后，从应用的角度系统性的叙述了矩阵在求商和余式、多项式理论。自然数的等幂和、多元一次不定方程和求逆矩阵中的应用情况。
关键字：矩阵的初等变换、商和余式、自然数的等幂和、多元一次不定方程
1.引言
线性代数是数学从理论数学迈向工程数学、应用数学的工具桥梁，线性代数的理论发展使得矩阵理论和相关概念深入到现在的各行各业的实际工程运用之中。现在的信息行业热点方向人工智能的两大核心技术机器视觉和数据挖掘技术即大量运用的矩阵论的相关理论。而根据初等变换作为矩阵理论的核心内容，在数学领域的实际应用上可以分为两个方向进行论述，第一，在线性代数的知识框架内，矩阵的初等变换的相关运用和矩阵研究及具有线性方程组背景的研究具有千丝万缕的连续，甚至可以说矩阵初等变换的相关理论极大地丰富和简化了线性方程组背景的研究方法集并且推进着线性代数在实际工程里的深度运用。矩阵的初等变换是求逆运算的核心方法，对于具有线性方程组背景的实际工程运用问题而言，对于一些特殊的方程形式往往不需要直接的进行线性方程组的解集相关的讨论而直接采用矩阵的逆变换则可以很明确解出解集矩阵。但是这种情况的适用性比较窄，不具备一般性。从矩阵的初等变换直接解出逆矩阵相比于基于矩阵的初等运算背景的诸如伴随矩阵相关的求逆方法而言具有很大的便捷性，可以说，对于任意的一个明确给出的具体的矩阵，都可以通过矩阵的初等变换的形式求得其逆矩阵。而矩阵的初等变换在求解线性方程组的过程中，由于线性方程组的系数可以直接的抽象为系数矩阵，而使得原有的线性方程组具备矩阵方程的形式，为进一步采用矩阵的相关理论对其解集进行研究奠定了基础。对于实际工程运用中的抽象出的线性方程组的相关问题中，由于其矩阵的定性分析中往往不需要对其解做过多的讨论而需要对矩阵的性质进行明确，使得秩分析在此类研究中得到了相当广泛的运用，而秩分析从运算的角度上来说可以由矩阵的初等变换达成。可以说，随着计算机技术的介入，矩阵的初等变换可以很方便的形成自动化的算法，从而使得现在对于复杂系统的定性定量分析能够大量的使用计算机进行分析计算，极大的提高了研究速度和质量。第二，矩阵的初等变换在矩阵形式下的线性系统的研究中占据着核心地位，也使得高等代数的相关内容具备极强的实用性，矩阵的初等变换能够简化问题的模型和难度、减少问题中的元数和维数并且将一个复杂系统的相关问题化解为若干简单小系统的问题进行研究。这些效果之所以能够达成从本质上说是因为矩阵的初等变换不影响矩阵本身的相关性质。本文从矩阵的初等变换在若干典型数学问题中的运用来揭示初等变换巨大的实用意义。
2.矩阵初等变换的相关认识
从具体操作内容上说，矩阵的初等变换可以分为三个主要的内容：第一，用一个数值不为零的常数对矩阵的某一行或者某一列全部元素进行相乘运算；第二，将矩阵某一行或者某一列的全部元素直接或者全部乘以某个数后一一对应的加到另外某一行或者某一列上。第三，将矩阵中某一行或者某一列不作任何运算处理而直接和另一行或者另一列进行行列位置上的对调。从运算性质的角度上来说，矩阵的初等变换当然可以直接的视为一种特殊的运算。但是与矩阵的初等运算相比它在操作内容上又有显著的不同。矩阵的初等变换所针对的操作对象是矩阵内部部分元素或者内容，而矩阵的初等运算中的加减运算等等运算所针对的操作对象是矩阵内部全部的元素。从操作内容上说，二者具备相对独立性，即进行矩阵的初等变换和进行矩阵的初等运算可以穿插交错的进行而互不产生交叉影响。正是由于矩阵的初等变换和矩阵的初等运算在内容本质上没有交叉性，使得对矩阵的研究方法上具备从整体到细节上的完整方法论。从实际运算结果的角度上说，对一个矩阵进行初等变换并不改变其矩阵形式和属性，不论对于矩阵内任何一行或者一列进行多少次矩阵初等变换运算其结果都不会改变矩阵本身的特质和属性，也就不会改变矩阵的形状。但是，由于矩阵的初等运算是针对矩阵的整体进行相关处理使得实际在运用过程中，如对矩阵进行左乘或者右乘会直接导致运算结果的矩阵形状与原矩阵不一致。这也是为何在对线性方程组背景的相关实际工程运用中矩阵的初等变换占据着核心内容的原因，即对矩阵进行初等变换不会对线性方程组的解集带来不利的影响，而矩阵的初等运算极有可能直接使得系数矩阵出现形状上的改变从而影响解集。但是，需要强调的是，在进行带有线性方程组背景的矩阵初等变换时，应该只能对矩阵的行进行初等变换而严禁对矩阵的列进行初等变换，这是从保证系数矩阵的信息完整性的角度得来的要求。从矩阵的初等变换和矩阵的初等运算后续引出的相关特殊矩阵的角度，同样可以看到很明显的二者之间的相对独立性，矩阵的初等变换得出的阶梯型矩阵、行最简形矩阵等等矩阵都具有非常明显的线性方程组求解背景，而矩阵的初等运算所得到的伴随矩阵、对称矩阵等等则是从宏观整体上对矩阵的相关特征进行了归纳。从推导过程上说，以上矩阵的相关运用同样是具备了相对独立性。但是，需要特别指出的是，虽然在运算操作和延伸理论上矩阵初等变换和矩阵运算的相关内容具备相对独立性，但是并不能由此而说明其不具备联系。实际上，从初等变换的角度，对某一行进行一次初等行变换其实相当于一个进行了同样初等行变换的单位矩阵对该矩阵进行一次左乘，而对某一列进行一次初等列变换则相当于一个进行了同样初等列变换的单位矩阵对该矩阵进行一次右乘。从这个角度，矩阵的初等变换和矩阵的初等运算开始建立联系。从矩阵的等价关系上而言，两个s×n矩阵AB等价的充分必要条件是存在可逆的s×s矩阵P和n×n矩阵Q使得A=PBQ，即从矩阵的初等变换的角度进行理解的话即为两个矩阵等价的充分必要条件是能够通过初等变换完成之间的相互转换。而矩阵的相似方面，由于对于矩阵相似的研究本质上是对矩阵的二次型矩阵的标准形进行研究，研究其特征向量的相关内容，也就是解方程组，所以从矩阵相似关系的角度，矩阵的运算和矩阵的初等变换同样具备一定的联系。最后矩阵的合同关系上，作为核心研究方法的合同变换法的本质，也是通过矩阵的初等变换完成的，而对矩阵的合同关系定义上则是采用矩阵的运算进行定义的，从这里也可以体会到一些矩阵的初等变换和矩阵的初等运算之间的联系。
3.矩阵的初等变换的应用
3.1矩阵的初等变换在求商和余式上的运用
本部分的主要研究内容是矩阵的初等变换在求除式为一次多项式情况下的带余除法。
首先，不妨设存在一个多项式：
其中≠0，
且令其中为常数，设为的结果，则有：
则通过对比和系数可以得到以下方程组：
看到这样的方程组形式，自然而然的，建立起相关系数和解集之间的联系，可以从线性方程组的角度方便的对接下来的研究做进一步的处理
很自然的，有以下系数矩阵：
则我们将第i行的元素乘以-p后与第i+1行元素相加，则可得到矩阵：
则可以很方便的根据以上矩阵轻而易举的得到解函数的相关系数。
那么接下来我们看这样一道例题：
设函数，，求及其余式
解：则有，即
则可以根据对照函数之间的系数，为了保证函数本身的不变性可以有以下线性方程组：
则有伴随矩阵：
进而可得
则可方便的得到，余式为4
所以可以看到在对此类问题的求解过程中本质上是针对建立的系数等式，从中抽离出所需要的线性方程组，进而使用线性方程组的初等变换的相关方法迅速的求得解。
3.2矩阵的初等变换在多项式理论中的运用
线性代数作为大学理工科类专业的基础通识课程，其核心的理论就是对线性方程组进行研究和求解，多项式和其相关的理论一直是高等代数学科内容里的主要内容，在对矩阵的初等变换在求商和余式上的运用主要研究内容是矩阵的初等变换在求除式为一次多项式情况下的带余除法，那么若除式为多次多项式的情况下，上述结论又会有什么变化呢？
诚然，此类复杂问题依然是要坚持对其系数进行对比研究后抽离出相应的线性方程组，只不过这个线性方程组的复杂程度要比除式为一次多项式时大大复杂。即当
时（n＞m）若对上式和下式的商式和余式进行研究的话依然是抓住此时的系数类比，需要特别注意的是，此时其系数矩阵A为（n+1）×（n+2）阶矩阵，此后的处理方法依旧是对A进行初等行变换得到行最简形矩阵进而进一步得解。即运用分块矩阵的方法将矩阵化为（En+1β）形式后直接得商式和余式的相关系数解集。
从研究内容上说，多项式理论主要研究内容是研究多项式与多项式之间做除法运算的多种可能情况和多项式背景下的高幂次方程的解的问题。对于多项式与多项式之间做除法运算可能的结果中，可以分为带有余式的情况和不带余式的情况。而不带余式的情况可以很自然的与因式分解相关的内容等价挂钩起来。即我们可以看到运用矩阵初等变换的相关知识可以很方便对多项式理论的几乎全部内容进行研究，这种研究的宽泛性本质上说是来自于这些研究内容都可以从多种角度与线性方程组进行挂钩，进而利用矩阵初等变换的相关方法理论进行求解。
3.3矩阵的初等变换在自然数等幂和中的运用
矩阵的初等变换在自然数的等幂和中的运用同样是想办法将相应的问题转化为线性方程组背景的问题进而使用初等变换对其解集进行求解。即对于自然数的等幂和形式的求和结果进行研究，为了方便接下来的研究和运算，把该求和式记为。从二项式定理展开式的相关内容里我们可以得到该和式相关的运算规则，即有
，由此可见我们已经得到与ik相关联的形式的内容，对于上式中的i我们不妨从i=1取到i=n，并将所得的n个等式相叠加，则有以下等式可得则可以根据该式，对k进行赋值调整后方便的得到一个方程组，即对k进行从0到n的赋值调整，可以得到一个关于的线性方程组，对该方程组进行进一步求解的话则可以方便的求得其自然数幂次和的相关数值。从本质上说，此后的操作依然是对得到的线性方程的进行抽离为增广矩阵，使用矩阵分块的相关方法将矩阵化为单位矩阵和一个列向量组成的形式，从而可以直观的从矩阵的各个元素数值中方便的求得自然数的幂次和。需要特别强调的是，该问题中剥离出的线性方程组有极其明显的三角形矩阵的相关特征，且三角形中的各个元素与元素之间的关系具备杨辉三角形中各个元素之间的关系特征，使用矩阵初等变换的相关内容可以很容易化为单位矩阵，进而明确该问题中各个解的相关情况。
3.4矩阵的初等变换在解多元一次不定方程中的运用
从形式上说多元一次不定方程普遍具有以下一般形式：
其中未知数前的系数均为整数，同时从方便的角度，我们对k个整数ppp的最大公因数以（ppp）的形式进行表示。那么对于不定方程一般形式的解法有以下步骤：，按照不定方程的各个整数常系数的次序求出（aa）=q，(qa)=q，···，（qa）=q，其中qt=均为整数，若其值不为整数则该多元一次不定方程无解，若q均满足为整数的条件，则该多元一次不定方程有解且可以通过以下方法方便的求得，即做方程
A1x1+a2x2=p2t2,p2t2+a3x3=p3t3，······pn-1tn-1+anxn=m
得到上述方程后，从最后一个方程开始往前逐个对方程组进行求解，即对最后一个方程的一切整数解及其表现形式求得后依次的将解集中的每个值代入倒数第二个方程之中再次得到倒数第二个方程的所有整数解形式，按此种思路逐个从后往前的对每个二元一次方程组进行求取整数解形式的操作，即可以得到多元一次不定方程的全部解。但是我们也可以很明确的看到此种处理方法过于复杂，且对于多元一次不定方程的未知数较多时不具备便捷的运算处理能力，因此，必须找到一个合适的方法对多元一次不定方程的解法进行系统性的通法通解性质的归纳。由此，我们引出使用线性代数中矩阵的初等变换的相关方法求取多元一次不定方程组的相关方法和内容。
首先引入一个成熟结论存在可逆矩阵U使得多元一次不定方程同解于以下矩阵方程：
,，其中该式还满足
所以在矩阵初等变换下的多元不定方程组的相关问题可以通过以下步骤解决：第一，做出一个（n+1）×n阶矩阵且该矩阵内部所有元素均为整数，该整数矩阵记为，对整数矩阵做初等变换可以得到以下矩阵则可知U一定为可逆矩阵，然后套用本段首先引入的成熟结论即可以对多元一次不定方程组的解集进行处理，其解集等价于：
的解，其中t1到tn-1均为任意整数
3.5矩阵的初等变换在求逆矩阵中的运用
矩阵的初等变换在求逆矩阵中的运用相当简单，即设矩阵A存在逆矩阵，则有A一定满足以下关系，第一，EA=A，即单位矩阵左乘以矩阵A的结果仍然是A；第二，AA-1=E，即矩阵A和矩阵A的逆矩阵相乘的结果一定为单位矩阵E。那么所以联立第一第二关系中的矩阵方程我们可以轻易得到以下关系式，即：（A|E）→（E|A-1），此方法从矩阵求逆的角度具备通法通解性，即对于任意给出的一个矩阵A，只要其具有逆矩阵，就可以运用此种方法通过初等行列变换的方式方便的求出矩阵A的逆矩阵。
原文链接：http://www.jxszl.com/lwqt/yzlw/302870.html
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