ck直接约化方法及其在二维不可压欧拉方程中的应用
目录
摘要.1
关键词.1
Abstract..1
Key words1
第一章 绪论.2
1.1非线性方程求解方法...2
1.1.1 Lie群对称方法..2
1.1.2达布变换法..2
1.1.3 贝克隆变换法.3
1.1.4 双线性变换法.3
1.2 CK直接约化方法.5
1.3本文的主要内容...6
第二章 二维欧拉方程精确解...7
2.1背景介绍...7
2.2第一类约化条件下欧拉方程的精确解...7
2.2.1方程约化及其对应的解..7
2.2.2欧拉方程的几类特殊解....11
2.2.3 特殊解的数值模拟...12
2.3 第二类约化条件下欧拉方程的精确解.16
2.3.1方程约化及其对应的解....16
2.3.2欧拉方程的几类特殊解....20
2.3.3 特殊解的数值模拟...22
第三章 总结与展望.24
致谢.25
参考文献26
CK直接约化方法及其在二维不可压欧拉方程中的应用
引言
绪论
1.1 非线性方程求解的方法
在非线性研究日益蓬勃发展的过程中，始终面临一个非常重要且十分困难的问题——如何解析求解非线性
*景先生毕设|www.jxszl.com +Q: ￥3^5`1^9`1^6^0`7^2$
方程，即发展非线性偏微分精确求解的理论和方法。经过多年的不断努力，数学物理学家们在孤子理论中发现了一系列构造非线性方程精确解的方法，如反散射方法[1]、Darboux变化法[2，3]、Hirota双线性法[4,5]、Lie群方法[6,7]、变量分离法[8]、Tanh展开法及有理展开法[912]以及CK直接约化方法[13]等等。然而，不同的研究领域，不同的问题具有不同的复杂的非线性系统，需要不同的独特的研究方法，所以构造其精确解没有统一而普适的方法，继续寻找一些行之有效的方法依然是一项重要的研究工作。
这里，我们将首先对几种常用的非线性求解方法做一下简单介绍：
1.1.1 Lie群对称方法
Lie群对称方法[19,20]是利用对称群将系统的一个解变换到另一个群的解。例如对一般的N阶偏微分方程：
对做单参数的无穷小变化：
通过求解特征方程：
从而获得对称约化，即所研究方程的解。
通过Lie群对称变换，一阶和二阶的非线性常微分方程可以被线性化，高阶的则可以被降阶，而偏微分方程则可以产生严格的群不变解。但Lie群对称方法存在一定局限性，即通过Lie群方法无法得到一些方程的对称约化，并且Lie群方法的计算过程繁琐复杂，人工难以实现。
1.1.2 达布变换法
达布变换法[21,22]的提出来自对薛定谔方程的研究，利用方程的解和解之间的有限变换进行求解。对于薛定谔方程：
方程的一个解经过达布变换：
，
，
得到的另一个解是不变的，即同样满足薛定谔方程：
运用达布变换法，需要先给出方程的一个“特解”，再运用达布变换可以得到一个新的解以及新的特征函数，再将带入新的特征函数计算，又可以得到另一个解与特征函数。如此不断运用达布变换，可以得到方程的孤子解。不同的“特解”得到的孤子解也都不相同。
1.1.3 贝克隆变换法
贝克隆变换法[23]的提出来自于对SG方程的解的研究。对于SG方程的解，经过贝克隆变换：
，
求得的新解也是SG方程的解，这样的解与用达布变换求得解的是一致的，但是再解一次一阶方程就变得很困难了。所以这里需要使用非线性叠加公式：设从出发，先用贝克隆变换做出，再用贝克隆变换做出；或从出发，先用贝克隆变换做出，再用贝克隆变换做出，令与相等，便可推导出线性叠加公式。过程如下：
可得到：
整理后则可以得到四个变量之间的关系：
即已知三个解之后，不必解微分方程便能求得第四个解。例如取：
，，
则可得：
这样的解称为方程的双扭结解。这样通过代数运算便可求得方程的许多新解。
1.1.4 双线性变换法
双线性变换又称广田变换[24]，不依赖方程的拉克斯对，而是将方程转变为双线性形式后再求解。
例如对KdV方程：
，
作达布变换：
即：
则KdV方程可以写为
引进双线性算子：
将方程可以改写成：
再可以设：
将其代入上式，可以得到：
比较的各次幂的系数：
................................
当时，取：
，，
且满足对应方程：
，
可以推出：
可以取，依次类推，可以取得所有：
()。
取展开式的前两项，并取，则：
可以得到方程的单孤子解：
当时，可以取:
，，
满足对应方程:
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