针对传统信号处理方法的不足，小波分析作为改进的理论方法在20世纪80年代被提出来。小波函数是一类函数的统称，它们是用来产生多尺度窗函数的原型，为研究信号处理提供了高效的分析工具。小波的多尺度分析方法在数值计算、信号处理、地质勘探、机械工程等很多领域有着广泛应用。然而，在处理具有各向异性奇异性的对象时，比如图像压缩，降噪等应用中，小波分析会不可避免地在图像的边缘位置造成一定程度的模糊。因此，在应用中预先提取并保护图像边缘特征是有必要的。 本文首先结合傅立叶变换阐述了小波分析的一些理论和重要性质，包括连续和离散两种变换。其次介绍了在数字图像降噪方面的一些应用，重点介绍了小波变换的阈值降噪方法。最后，本文使用Sobel算子执行图像的边缘检测，保护了图像的边缘特征，通过进行二维离散小波变换得到小波系数，执行阈值降噪的处理，实现了图像的降噪，改善了图像质量。
目录
摘要 3
关键词 3
一 前言 3
1.1小波分析概述 3
二 小波分析产生背景 4
2.1傅立叶变换(FT) 4
2.2短时傅立叶变换（STFT） 5
三 小波分析理论阐述 5
3.1连续小波变换（CWT）的定义 5
3.2 小波逆变换 6
3.3 离散小波变换（DWT） 6
四 数字图像处理概述 8
4.1 数字图像 8
4.2 图像处理 8
4.3 MATLAB支持的基本图像类型 9
五 小波降噪应用与实现 9
5.1 图像的二维小波变换 9
5.2 图像的边缘检测 11
5.3小波图像降噪方法简述 13
5.4阈值的选定及阈值处理方法 13
5.5基于边缘检测的小波图像阈值降噪方法 14
六 结束语 16
致谢 17
参考文献 17
基于小波分析的图像降噪应用设计与实现
引言
一 前言
1.1小波分析概述
在30多年之前，由于信号处理的实际需求，小波分析开始受到关注，它的理论和研究得到发展。在信号处 *景先生毕设|www.jxszl.com +Q: ￥351916072$ 
理中最常用到的就是傅立叶变换，然而傅立叶变换不能在时域和频域同一时间提供信号的小区域细节信息，相比之下小波变换在这个问题上有更好的表现，所以可以更有效率的从处理后的信号中提取出有用的信息。
小波分析在处理原始信号时，运用缩放和平移的方法，进行多尺度的细化分析，可以自动调整并适应不稳定的时频信号进行细节处理，从而专注于信号的任何细微变化，能应用于不合适傅立叶变换的许多困难问题。
很多研究小波分析的数学家认为，小波分析是数学研究的一个新的方向，它是样条分析、傅立叶分析、泛函分析和数值分析等的综合延伸；信号处理科学家认为，小波分析是在信号处理中多分辨分析方法的一种新技术[1]，它在数据压缩、趋势预测、信号处理、图形匹配、计算机图形学等方面的研究都产生了具有科学和实际价值的影响。
在19世纪80年代末，小波分析才被提出，法国工程师J. Morlet给出了最初的反演公式，然而在当时的数学界当中并没有引起太多波澜。在1986年，数学家Y. Meyer构创出了第一个可用的小波基函数，然后与数学家S.Mallat协作研究出了构造小波基函数的标准方法多尺度分析，小波分析从这个时候得到数学家们的关注。由比利时数学家I. Daubechies编写的著名的讲义《小波十讲》，在推广小波分析方面发挥了非常重要的作用[2]。
作为能同时表征时域和频域细节的分析工具，小波变换理论非常适合应用于图像处理中。因为数字图像可以看成二维或三维的信号，所以，小波变换在图像处理领域得到充分的应用。当前小波变换已经被运用到图像处理的包括图像的增强、复原、压缩、分割等几乎所有方面。然而小波变换的理论研究还没有到达很完善的水平，在一些实际的应用也有待改进和完善；另一方面也不断地发现一些关于小波分析的新理论和新应用。
二 小波分析产生背景
2.1傅立叶变换(FT)
原始信号中一些有用的信息是很难观察到的，这时就必须对原始信号进行转换以获取所需的信息。对信号做变换的方法有很多种，其中应用最为广泛的是傅立叶变换。
在19世纪初，法国的物理学和数学家Fourier，提出了这个众所周知的周期函数性质：任何连续的周期函数都可以用一组适当的正弦波叠加而成。然后这个概念被推广到非周期函数，接着是应用于周期性和非周期性的离散信号中。从那时起，傅立叶变换就成为了在计算机数字信号处理中卓有成效的数学工具。
傅立叶变换将原始信号转换为一系列适当的复指数函数。变换和逆变换的过程可以通过以下两个公式解释：

（21）

（22）
在公式（21）和（22）中，
为时间，
为频率，
为待分析的原始信号。
是信号的时域表示，
是信号的频域表示。公式（21）是傅立叶变换，公式（22）是傅立叶逆变换。
傅立叶变换将时频平面上的原始信号变换为频域信号，在频域上统计分析原始信号的频谱信息，简化了原始信号的频率分析工作，在对信号进行分解处理后，可以执行信号降噪，压缩和平滑等操作。
傅立叶变换是一种可逆的数学变换，即它可以把原始时域信号转换输出成频域信号，并且可以逆变换回时域信号，这两种信号都可以提供一些有用的信息。但是，在任一种变换中，两种类型的信息不能同时被观察到，即在傅立叶变换之后，在频域信号中观察不到时间信息，并且在逆变换后的时域信号中也观察不到频率信息。
傅立叶变换拥有很多重要的性质，例如卷积和能量守恒等，在信号处理中使用这些特性是有用和方便的。然而，傅立叶变换并不是完美的，从傅立叶变换后的方程中不含时间变量的事实可以看出，对于非平稳信号，频率在时域上的分布是不稳定的。例如在处理具有局部剧烈变化的信号，傅立叶变换在这时候就不是一个可以胜任的分析工具。为了使傅立叶变换能同时表征信号的时域信息和频域信息，科学家们引入了窗口傅立叶变换，也称为短时傅立叶变换。
2.2短时傅立叶变换（STFT）
短时傅立叶变换和傅立叶变换之间的区别在于, 短时傅立叶变换是傅立叶变换的加窗版本。在短时傅立叶变换中，信号被均匀地细分为很多小段，细分的尺度足够到每个片段都可以被单独视为平稳的信号。此时就需要给出一个窗函数与分段的信号相乘，窗函数的宽度必须等于信号片段的宽度。以下是短时傅立叶变换的公式：

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